Số Hữu Tỉ

EBOOK BÀI GIẢNG TOÁN 7 – CHỦ ĐỀ: SỐ HỮU TỈ
Biên soạn: Chiến ITM
Phong cách trình bày: Ngắn gọn – Dễ nhớ – Có ví dụ – Bài tập từ cơ bản đến nâng cao

---

📘 CHỦ ĐỀ: SỐ HỮU TỈ

---

📌 I. Tập hợp số hữu tỉ

🧠 Lý thuyết:

• Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng $\frac{a}{b}$, với $a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0$.

• Ký hiệu tập hợp số hữu tỉ là $\mathbb{Q}$.

• Mọi số nguyên, số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn đều là số hữu tỉ.

• Trên trục số, giữa hai số hữu tỉ luôn có vô số số hữu tỉ khác.

🔍 Ghi nhớ: $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

📎 Ví dụ:

1. $0,75 = \frac{3}{4} \in \mathbb{Q}$     2. $-2 = \frac{-2}{1} \in \mathbb{Q}$

2. $1,2\overline{3} = \frac{37}{30} \in \mathbb{Q}$

📝 Bài tập:

Cơ bản:

1. Viết các số sau dưới dạng phân số: $0,6; -1,25; 2,5$.

2. Cho các số: $\frac{5}{8}; -0,75; 3,2\overline{1}$. Chứng minh chúng là số hữu tỉ.

3. Biểu diễn các số $\frac{-3}{2}; 0; 1,25$ trên trục số.

Nâng cao:
4. Giữa hai số $\frac{2}{3}$ và $\frac{3}{4}$ có tồn tại bao nhiêu số hữu tỉ?
5. Có đúng không: “Mọi số thập phân là số hữu tỉ”? Giải thích.
6. Tìm 3 số hữu tỉ liên tiếp sao cho tổng của chúng bằng 0.

---

📌 II. Phép tính với số hữu tỉ

🧠 Lý thuyết:

• Cộng, trừ: Quy đồng mẫu rồi tính tử số.

• Nhân: Nhân tử với tử, mẫu với mẫu.

• Chia: Nhân với phân số nghịch đảo.

🔍 Ghi nhớ: Luôn rút gọn kết quả về phân số tối giản!

📎 Ví dụ:

1. $\frac{3}{4} + \frac{2}{5} = \frac{23}{20}$   2. $\frac{5}{6} : (-\frac{2}{3}) = -\frac{5}{4}$

📝 Bài tập:

Cơ bản:

1. $\frac{2}{3} + \frac{1}{4}$;   2. $\frac{5}{6} - \frac{1}{2}$

2. $\left( \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} \right) : \left( -\frac{3}{7} \right)$

Nâng cao:
4. Chứng minh: Nếu $x, y \in \mathbb{Q}, y \neq 0 \Rightarrow \frac{x}{y} \in \mathbb{Q}$.
5. Cho $x = \frac{1}{2}, y = -\frac{3}{4}$, tính biểu thức $A = \frac{x + y}{x \cdot y}$.
6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $B = \left| \frac{2}{x} - 1 \right|$ khi $x \in \mathbb{Q}^+$.

---

📌 III. Lũy thừa của số hữu tỉ

🧠 Lý thuyết:

• $a^n = a \cdot a \cdot \dots \cdot a$ (n thừa số).

• $\left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n}$

🔍 Ghi nhớ: Lũy thừa bậc chẵn của số âm luôn dương; bậc lẻ giữ nguyên dấu.

📎 Ví dụ:

1. $\left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9}$   2. $\left( -\frac{1}{2} \right)^3 = -\frac{1}{8}$

📝 Bài tập:

Cơ bản:

1. Tính: $\left( \frac{5}{6} \right)^2$;   2. So sánh: $\left( \frac{3}{4} \right)^2$ và $\frac{9}{16}$

Nâng cao:
3. Chứng minh: $\left( \frac{a}{b} \right)^2 \geq 0$ với mọi $a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0$.
4. Tính giá trị: $A = \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right)^2 - \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right)^2$.
5. Giải: $\left( \frac{x}{2} \right)^2 = \frac{9}{16}$.

---

📌 IV. Quy tắc dấu ngoặc và chuyển vế

🧠 Lý thuyết:

• Bỏ dấu ngoặc có dấu “–” trước: đổi dấu bên trong.

• Khi chuyển vế: đổi dấu số hạng.

🔍 Ghi nhớ: $-(a - b) = -a + b$   $a + x = b \Rightarrow x = b - a$

📎 Ví dụ:

1. Rút gọn: $3 - (2x - 4) = 7 - 2x$

2. Giải phương trình: $\frac{x}{2} - 3 = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \frac{13}{2}$

📝 Bài tập:

Cơ bản:

1. Rút gọn: $5 - (3 - 2x)$;   2. $-[2x - (3x - 4)]$

Nâng cao:
3. Giải phương trình: $x - \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$
4. Tìm x: $2x - (3x - 4) = 7$
5. Giải phương trình: $\frac{x}{3} - (x - \frac{1}{2}) = \frac{5}{6}$

---

📌 TỔNG KẾT CHỦ ĐỀ: SỐ HỮU TỈ

✨ Những điều cần nhớ:

• Biết xác định số hữu tỉ và viết được chúng dưới dạng $\frac{a}{b}$.

• Thực hiện thành thạo các phép tính: cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ.

• Vận dụng được lũy thừa và các quy tắc dấu ngoặc.

• Giải được các phương trình đơn giản với số hữu tỉ.

🔍 Ghi nhớ trọng tâm: Tập hợp $\mathbb{Q}$ rộng hơn $\mathbb{Z}$, chứa nhiều dạng số quen thuộc như phân số, thập phân hữu hạn và thập phân tuần hoàn.

---

🧠 BÀI TẬP TỔNG HỢP NÂNG CAO

1. Chứng minh: Tích của hai số hữu tỉ luôn là một số hữu tỉ.

2. Cho $x = \frac{3}{4}, y = -\frac{5}{6}$, tính: $A = x^2 + 2xy + y^2$.

3. So sánh hai biểu thức: $\left( \frac{5}{6} \right)^2$ và $\frac{25}{36}$.

4. Giải phương trình: $\frac{3x}{4} - \frac{5}{8} = \frac{1}{2}$.

5. Tìm giá trị nhỏ nhất của: $B = \left| \frac{1}{x} - 2 \right|$ với $x > 0$.

6. Biểu diễn số hữu tỉ $\frac{-7}{5}$ và hai số nằm giữa nó và 0 trên trục số.

7. Rút gọn và tính giá trị biểu thức: $C = \left( \frac{2}{3} + \frac{1}{4} \right)^2 - \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{4} \right)^2$.

8. Tìm x: $\left( x + \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{49}{36}$.

9. Chứng minh: Nếu $a, b \in \mathbb{Q} \Rightarrow \frac{a^2 + b^2}{a + b} \in \mathbb{Q}$.

10. Cho biểu thức: $D = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$. Tìm điều kiện của x để D là số hữu tỉ và tính D.

---

📚 Kết thúc chủ đề: SỐ HỮU TỈ
✅ Bạn đã nắm được khái niệm – phép tính – lũy thừa – chuyển vế với số hữu tỉ.
👉 Hãy luyện tập thêm để thành thạo!